Bestellbestandsverfahren mit variabler Bestellmenge und periodischer Bestandsüberwachung
(reorder cycle policy with variable order quantity and periodic review)

\(\large (\text{SEOQ}_{\Delta, s, S})~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Min.} && C_\Delta(s, S)=h\cdot\Big(S-\mathbb{E}(L)\cdot d-\tfrac{1}{2}\mathbb{E}(q_\Delta(s, S))\Big)+\frac{k\cdot d}{\mathbb{E}(q_\Delta(s, S))}\\ & \text{u. d. N.} && V_\Delta(s) \le (1-\beta)\cdot\mathbb{E}(q_\Delta(s, S)) \end{align*}\right. \)
\(\beta\)Vorgegebener Servicegrad vom Typ 2
\(\Delta\)Vorgegebene Länge des Überwachungsintervalls
\(C_\Delta(s, S)\)Rate der erwarteten entscheidungsrelevanten Gesamtkosten
\(d\)Erwartete Bedarfsrate (Erwartungswert der stochastischen Periodennachfrage \(D\))
\(\mathbb{E}(L)\)Erwartete Lieferzeit
\(\mathbb{E}(q_\Delta(s, S))\)Erwartete Bestellmenge in Abhängigkeit von \(s\) und \(S\)
\(h\)Lagerungskostensatz
\(k\)Bestellfixe Kosten
\(\ast\)\(s\)Bestellpunkt
\(\ast\)\(S\)Bestellgrenze
\(V_\Delta(s)\)Verlustfunktion (erwartete Fehlmenge in Abhängigkeit von \(s\))

Für den Zusammenhang zwischen Bestellpunkt \(s\), Bestellgrenze \(S\), Bestellmenge \(q\) und dem Defizit \(U\) zwischen Erreichen des Bestellpunkts und Auslösung der Bestellung gilt die Gleichung

\(\begin{align*} && q = S-s+U \end{align*}\)

Ist \(S-s\) hinreichend groß im Vergleich zum Bedarf während des Überwachungsintervalls (d. h., \(S-s\ge 1,\!5\cdot\Delta\cdot d\)) und sind die Bedarfe überschneidungsfreier Intervalle stochastisch unabhängig, gilt

\(\begin{align*} && \mathbb{E}(U) \approx \frac{\Delta\cdot d^2+\sigma_D^2}{2d}\end{align*}\)

mit \(\sigma_D^2\) als der Varianz des Periodenbedarfs und damit mit \(q=q_\Delta(s, S)\)

\(\begin{align*} && \mathbb{E}(q_\Delta(s, S)) \approx S-s+\frac{\Delta\cdot d^2+\sigma_D^2}{2d}\end{align*}\)

Für die Verlustfunktion erhält man die Abschätzung

\(\begin{align*} && V_\Delta(s)\approx\frac{1}{2\Delta d}\cdot\Big(\int_s^\infty(y-s)^2 f^\Delta_Y(y)\,dy-\int_s^\infty(z-s)^2 f_Z(z)\,dz\Big)\end{align*}\)

mit

Für den Fall eines normalverteilten Periodendedarfs \(D\) und deterministischer Lieferzeit \(L\) erhält man mit der Standardverlustfunktion zweiter Ordnung

\(\begin{align*} && \Psi(x):=\int_x^\infty (z-x)^2\varphi(z)\,dz=(1+x^2)(1-\Phi(x))-x\varphi(x) \end{align*}\)

die Verlustfunktion

\(\begin{align*} &&V_\Delta(s)&\approx \frac{1}{2\Delta d}\cdot\Big[\Psi\Big(\frac{s-\mu_Y}{\sigma_Y}\Big)\cdot\sigma_Y^2+\Psi\Big(\frac{s-\mu_Z}{\sigma_Z}\Big)\cdot\sigma_Z^2\Big] \\ && &= \frac{1}{2\Delta d}\cdot\Big[\Psi\Big(\frac{s-(L+\Delta)d}{\sqrt{L+\Delta}\cdot\sigma_D}\Big)\cdot(L+\Delta)\cdot\sigma_D^2+\Psi\Big(\frac{s-Ld}{\sqrt{L}\cdot\sigma_D}\Big)\cdot L\cdot\sigma_D^2\Big]\\ \end{align*}\)

mit