Wagner-Whitin-Modell mit Stufenrabatten (capacitated lotsizing model with all units discounts)

\(\large (\text{ULSP}_{\mathit{aud}})~~\left\{~~ \begin{align*} & \begin{aligned} & \rlap{\text{Min.}}\phantom{\text{u. d. N.}} && C(\boldsymbol{q}, y)=\sum_{t=1}^T \sum_{i\in S}\sum_{\ell\in L_i}\Big[\pi_{i\ell t}\cdot q_{i\ell t} + I\cdot \pi_{i\ell t}\sum_{t'=t+1}^T (t'-t)\cdot q_{i\ell tt'}+k_i\cdot y_{i\ell t}\Big] \end{aligned} \\ & \begin{aligned} & \text{u. d. N.} && \sum_{\ell\in L_i} y_{i\ell t} \le 1 && (i\in S;~t=1, \ldots, T) \\ & && q_{i\ell t}=\sum_{t'=t}^T q_{i\ell tt'} && (i\in S;~\ell\in L_i;~t=1, \ldots, T) \\ & && \sum_{i\in S}\sum_{\ell\in L_i}\sum_{t=1}^{t'} q_{i\ell tt'} \ge d_{t'} && (t'=1, \ldots, T) \\ & && \smash{\underline{q}}_{i\ell}{}\cdot y_{i\ell t}\le q_{i\ell t} \le \overline{q}_{i\ell}{}\cdot y_{i\ell t} && (i\in S;~\ell\in L_i;~t=1, \ldots, T) \\ & && \sum_{\ell\in L_i}q_{i\ell t} \le R_{it} && (i\in S;~t=1, \ldots, T) \\ & && q_{i\ell tt'}\ge 0 && (i\in S;~\ell\in L_i;~t,t'=1, \ldots, T:t'\ge t)\\ & && y_{i\ell t}\in\{0,1\} && (i\in S;~\ell\in L_i;~t=1, \ldots, T) \end{aligned} \end{align*}\right. \)
\(\pi_{i\ell}\)Einkaufspreis bei Lieferant \(i\) auf Rabattstufe \(\ell\)
\(d_t\)Zu deckender Bedarf in Periode \(t\)
\(I\)Kalkulatorischer Lagerzinssatz
\(k_i\)Bestellfixe Kosten bei Lieferant \(i\)
\(L_i\)Menge der Rabattstufen \(\ell\) bei Lieferant \(i\)
\(\ast\)\(q_{i\ell t}\) Bestellmenge bei Lieferant \(i\) auf Rabattstufe \(\ell\) in Periode \(t\)
\(\ast\)\(q_{i\ell tt'}\) Bestellmenge bei Lieferant \(i\) auf Rabattstufe \(\ell\) in Periode \(t\) zur Deckung des Bedarfs in Periode \(t'\)
\(\smash{\underline{q}}_{i\ell},~\overline{q}_{i\ell}\)Unter- bzw. Obergrenze von Rabattstufe \(\ell\) bei Lieferant \(i\)
\(\ast\)\(R_{it}\) Lieferkapazitšt von Lieferant \(i\) in Periode \(t\)
\(S\)Menge der Lieferanten \(i\)
\(T\)Anzahl der Perioden \(t\)
\(\ast\)\(y_{i\ell t}\) \(=1\), falls in Periode \(t\) bei Lieferant \(i\) auf Rabattstufe \(\ell\) bestellt wird, \(=0\), sonst