Blending-Problem (blending problem)

\(\large (\text{BP})~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Max.} && \sum_{j\in\mathcal{J}}\sum_{i\in\mathcal{I}} (p_j-c_i)\cdot x_{ij} \\ & \text{u. d. N.} && \sum_{i\in\mathcal{I}}x_{ij} \le d_j && (j\in\mathcal{J})\\ & && \sum_{j\in\mathcal{J}}x_{ij} \le b_i && (i\in\mathcal{I})\\ & && \underline{s}_{jq}\sum_{i\in\mathcal{I}}x_{ij} \le\sum_{i\in\mathcal{I}}s_{iq}\,x_{ij}\le{}\bar{s}_{jq}\sum_{i\in\mathcal{I}}x_{ij} && (j\in\mathcal{J};~q\in\mathcal{Q}^v)\\ & && \underline{s}_{jq}\sum_{i\in\mathcal{I}}\rho_i x_{ij} \le\sum_{i\in\mathcal{I}}s_{iq}\,\rho_i\,x_{ij} \le{} \bar{s}_{jq}\sum_{i\in\mathcal{I}}\rho_ix_{ij} && (j\in\mathcal{J};~q\in\mathcal{Q}^w)\\ & && x_{ij}\ge 0 && (i\in\mathcal{I};~j\in\mathcal{J}) \end{align*}\right. \)
\(\rho_i\)Dichte von Einsatzstoff \(i\)
\(b_i\)Verfügbare Menge von Einsatzstoff \(i\)
\(c_i\)Spezifische Einstands- bzw. Herstellkosten von Einsatzstoff \(i\)
\(d_j\)Nachfrage nach Blend \(j\)
\(\mathcal{I}\)Menge der Einsatzstoffe \(i\)
\(\mathcal{J}\)Menge der Blends \(j\)
\(p_j\)Absatzpreis von Blend \(j\)
\(\mathcal{Q}\)Menge der (Qualitäts-)Merkmale \(q\) von Einsatzstoffen und Blends
\(\mathcal{Q}^v\)Menge der Merkmale \(q\) mit volumenproportionalem Mischungsverhalten
\(\mathcal{Q}^w\)Menge der Merkmale \(q\) mit gewichtsproportionalem Mischungsverhalten
\(s_{iq}\)Ausprägung des Merkmals \(q\) bei Einsatzstoff \(i\)
\(\underline{s}_{jq},~\bar{s}_{jq}\)Untere bzw. obere Schranke für Ausprägung von Merkmal \(q\) bei Blend \(j\)
\(\ast\)\(x_{ij}\ge 0\)(Volumen-)Menge von Einsatzstoff \(i\), die zur Herstellung von Blend \(j\) eingesetzt wird