Pooling-Problem (pooling problem)

\(\large (\text{BP})~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Max.} && \sum_{j\in\mathcal{J}}p_j\sum_{(k, j)\in A}x_{kj}-\sum_{h\in\mathcal{H}}c_h\sum_{(h, k)\in A}x_{hk} \\ & \text{u. d. N.} && \sum_{(k, j)\in A}x_{kj} \le d_j && (j\in\mathcal{J})\\ & && \sum_{(h, k)\in A}x_{hk} \le b_h && (h\in\mathcal{H})\\ & && \sum_{(h, i)\in A}x_{hi}=\sum_{(i, j)\in A}x_{ij} && (i\in\mathcal{I}) \\ & && s_{iq}\sum\limits_{(h, i)\in A}x_{hi}=\sum\limits_{(h, i)\in A}s_{hq}\,x_{hi} && (i\in\mathcal{I};~q\in\mathcal{Q}^v)\\ & && s_{iq}\sum\limits_{(h, i)\in A}\rho_h\,x_{hi}=\sum\limits_{(h, i)\in A}\rho_h\,s_{hq}\,x_{hi} && (i\in\mathcal{I};~q\in\mathcal{Q}^w)\\ & && \underline{s}_{jq}\sum_{(k, j)\in A}x_{kj} \le \sum_{(k, j)\in A}s_{kq}\,x_{kj} \le{} \bar{s}_{jq}\sum_{(k, j)\in A}x_{kj} && (j\in\mathcal{J};~q\in\mathcal{Q}^v)\\ & && \underline{s}_{jq}\sum_{(k, j)\in A}\rho_k\,x_{kj} \le \sum_{(k, j)\in A}\rho_k\,s_{kq}\,x_{kj} \le{} \bar{s}_{jq}\sum_{(k, j)\in A}\rho_k\, x_{kj} && (j\in\mathcal{J};~q\in\mathcal{Q}^w) \\ & && x_{kk'}\ge 0 && ((k, k')\in A) \end{align*}\right. \)
\(\rho_h,~\rho_i\)Dichte von Einsatzstoff \(h\) bzw. Mischung \(i\)
\(b_h\)Verfügbare Menge von Einsatzstoff \(h\)
\(c_h\)Spezifische Einstands- bzw. Herstellkosten von Einsatzstoff \(h\)
\(d_j\)Nachfrage nach Blend \(j\)
\(\mathcal{H}\)Menge der Einsatzstoffe \(h\)
\(\mathcal{I}\)Menge der Mischungen \(i\) in Sammeltanks
\(\mathcal{J}\)Menge der Blends \(j\)
\(p_j\)Absatzpreis von Blend \(j\)
\(\mathcal{Q}\)Menge der (Qualitäts-)Merkmale \(q\) von Einsatzstoffen, Mischungen und Blends
\(\mathcal{Q}^v\)Menge der Merkmale \(q\) mit volumenproportionalem Mischungsverhalten
\(\mathcal{Q}^w\)Menge der Merkmale \(q\) mit gewichtsproportionalem Mischungsverhalten
\(s_{hq}\)Ausprägung des Merkmals \(q\) bei Einsatzstoff \(h\)
\(\ast\)\(s_{iq}\)Ausprägung des Merkmals \(q\) bei Mischung \(i\)
\(\underline{s}_{jq},~\bar{s}_{jq}\)Untere bzw. obere Schranke für Ausprägung von Merkmal \(q\) bei Blend \(j\)
\(\ast\)\(x_{kk'}\ge 0\)(Volumen-)Menge von Stoff \(k\) (Destillationsfraktion \(h\) oder Mischung \(i\)) in Stoff \(k'\) (Mischung \(i\) oder Blend \(j\))