Einsatzplanung der Kommissionierung (order-picking problem)

\(\large (\text{OPP})~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Min.} && \sum_{\mu\in G}\sum_{i, j\in V:i\neq j} d_{ij} x^\mu_{ij} \\ & \text{u. d. N.} && \sum_{\mu\in G} y^\mu_k = 1 && (k\in K)\\ & && \sum_{i\in V} \hat{b}_i y^\mu_i \le u && (\mu\in G)\\ & && x^\mu_{ij} \le \tfrac{1}{2}(y^\mu_{k(i)}+y^\mu_{k(j)}) && (i, j\in V:i\neq j;~\mu\in G)\\ & && \sum_{j\in V:i\neq j} x^\mu_{ij} = \sum_{(j, i) \in A} x^\mu_{ji} = y^\mu_{k(i)} && (i \in V\setminus\{0\};~\mu\in G)\\ & && \pi_j-\pi_i \ge n(x^\mu_{ij}-1)+1 && (i, j\in V:i\neq j, j\neq 0;~\mu\in G)\\ & && x^\mu_{ij}\in\{0, 1\} && (i, j\in V:i\neq j;~\mu\in G)\\ & && y^\mu_k\in\{0, 1\} && (k\in K;~\mu\in G) \end{align*}\right. \)
\(\ast\)\(\pi_i\ge 0\)Stufenindex von Auftragsposition \(i\) auf ihrer Kommissioniertour bei Indizierung mit \(\pi_0=0\)
\(\hat{b}_k\)Kapazitätsbedarf von Auftrag \(k\)
\(d_{ij}\)Wegzeit von Lagerplatz von Auftragsposition \(i\) zu Lagerplatz von Auftragsposition \(j\)
\(G\)Indexmenge der Auftragsgruppen \(K_\mu\subseteq K\)
\(K\)Menge der Kundenaufträge \(k\)
\(k(i)\)Kundenauftrag \(k\) zur Auftragsposition \(i\)
\(n=|V|\)Anzahl der Auftragspositionen aller Kundenaufträge \(+1\)
\(u\)Ladekapazität eines Kommissionierfahrzeugs
\(V\)Menge der Auftragspositionen \(i\) und Auftragssammelplatz \(0\)
\(\ast\)\(x^\mu_{ij}\in\{0, 1\}\)\(=1\), falls in Gruppe \(K_\mu\) Auftragsposition \(i\) direkt vor Auftragsposition \(j\) kommissioniert wird, \(=0\), sonst
\(\ast\)\(y^\mu_k\in\{0, 1\}\)\(=1\), falls Auftrag \(k\) Gruppe \(K_\mu\) zugewiesen wird, \(=0\), sonst