Pufferverteilung (buffer allocation)
| \(\large (\text{BAP})~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Max.} && \rlap{f(z_1, \ldots, z_N)=w\cdot \underbrace{(1-\sum_{i\in\mathcal{S}}\pi'_i)\cdot \lambda}_{=\,\lambda_{\mathit{eff}}} -h\cdot \underbrace{\sum_{i\in\mathcal{S}}\Big(\sum_{k=1}^N i_k\Big)\cdot \pi_i}_{=\,L}} \\ & \text{u. d. N.} && g_{ij}\cdot\pi_i-g_{ij}\cdot(1-y_j) \le q_{ij} \le g_{ij}\cdot\pi_i && (i, j\in\mathcal{S})\\ & && 0 \le q_{ij} \le g_{ij}\cdot y_j && (i, j\in\mathcal{S})\\ & && \sum_{j\in\mathcal{S}}q_{ij}=\sum_{j\in\mathcal{S}}q_{ji} && (i\in\mathcal{S})\\ & && \sum_{i\in\mathcal{S}}\pi_i=1\\ & && \frac{i_k-z_k-1}{\bar{z}_k} \le{} \bar{y}^k_{i_k}{} \le 1-\frac{z_k+2-i_k}{\bar{z}_k{}+2} && (k=1, \ldots, N;~i_k\in I_k)\\ & && 1-\sum_{k=1}^N y^k_{i_k} \le y_i \le 1-\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N y^k_{i_k} && (i\in\mathcal{S};~k=1, \ldots, N)\\ & && 0 \le \pi_i \le y_i && (i\in\mathcal{S})\\ & && y'_i \ge i_1\cdot y_i-z_1 && (i\in\mathcal{S})\\ & && \pi_i-(1-y'_i)\le \pi'_i \le \pi_i && (i\in\mathcal{S})\\ & && 0 \le \pi'_i \le y'_i && (i\in\mathcal{S})\\ & && z_k \le{} \bar{z}_k && (k=1, \ldots, N)\\ & && \sum_{k=1}^N z_k = Z \\ & && \bar{y}^k_{i_k}{} \in\{0, 1\} && (k=1, \ldots, N;~i_k\in I_k)\\ & && y_i,~y'_i \in\{0, 1\},~z_k \in{} \mathbb{Z}_{\ge 0} && (i\in\mathcal{S};~k=1, \ldots, N) \end{align*}\right. \) |
| \(\lambda\) | Ankunftsrate von Kundenaufträgen in erster Zelle | |
| \(\lambda_{\mathit{eff}}\) | Effektive Ankunftsrate von Kundenaufträgen in erster Zelle | |
| \(\ast\) | \(\pi_i\) | Stationäre Wahrscheinlichkeit von Zustand \(i\) bei Pufferverteilung \(z\) |
| \(\ast\) | \(\pi'_i\) | Hilfsvariable für \(\pi_i\cdot y'_i\) |
| \(g_{ij}\) | Übergangsrate von Zustand \(i\) zu Zustand \(j\) | |
| \(h\) | Lagerungskostensatz | |
| \(I_k\) | Menge \(\{0, 1, \ldots, \bar{z}_k+1\}\) der möglichen Anzahlen an Werkstücken in Zelle \(k\) | |
| \(L\) | Erwarteter Umlaufbestand | |
| \(N\) | Anzahl der Zellen \(k\) des Fertigungssystems | |
| \(\ast\) | \(q_{ij}\ge 0\) | Hilfsvariable für \(g_{ij}\cdot\pi_i\cdot y_j\), d. h., Wahrscheinlichskeitsrate, mit der bei Pufferverteilung \(z\) Zustand \(i\) in Richtung Zustand \(j\) verlassen wird |
| \(\mathcal{S}\) | Menge der Zustände \(i=(i_1, \ldots, i_N)\) (Zustandsraum) | |
| \(w\) | Stückdeckungsbeitrag fertiggestellter Werkstücke | |
| \(\ast\) | \(y_i\in \{0, 1\}\) | \(=1\), falls Zustand \(i\) bei Pufferverteilung \(z\) eintreten kann, \(=0\), sonst |
| \(\ast\) | \(y'_i\in \{0, 1\}\) | \(=1\), falls in Zustand \(i\) Puffer in erster Zelle voll ist (d. h., \(i_1=\bar{z}_1+1\)), \(=0\), sonst |
| \(\ast\) | \(\bar{y}^k_{i_k}{}\in \{0, 1\}\) | \(=1\), falls sich in Zelle \(k\) keine \(i_k\) Werkstücke befinden können (d. h., \(i_k>\bar{z}_k+1\)), \(=0\), sonst |
| \(Z\) | Vorgegebene Gesamtzahl an Pufferplätzen | |
| \(\ast\) | \(z_k\in{}\mathbb{Z}_{\ge 0}\) | Anzahl der Pufferplätze in Materialpuffer in Zelle \(k\) |
| \(\bar{z}_k\) | Maximale Anzahl der Pufferplätze in Materialpuffer in Zelle \(k\) |
Für den Fall einer Reihenfertigung gilt für die Übergangsraten
\( \begin{align*} && g_{ij}=\left\{~\begin{array}{ll} \lambda, &\text{falls }j=(i_1+1, i_2, \ldots, i_N)\\ \mu_k, &\text{falls } k < N \text{ und } j=(i_1, i_{k-1}, i_k-1, i_{k+1}+1, \ldots, i_N)\\ \mu_N, &\text{falls } j=(i_1, \ldots, i_{N-1}, i_N-1)\\ 0, &\text{ sonst} \end{array}\right. \end{align*} \)