Kapazitätsallokation und Lagerplatzzuweisung bei Zonung (capacity allocation and assignment of storage locations under class-based storage)

Das Planungsproblem besteht aus zwei interdependenten Teilproblemen:

Kapazitätsallokation \((\text{CAP}(x, p))\): Teile für gegebene Zuweisung \(x\) der Artikel \(j\) zu Zonen \(l\) die vorhandene Anzahl \(p\) an Lagerplätzen auf die Zonen \(l\) auf, sodass die vollständige Einlagerverfügbarkeit maximiert wird.

\(\large (\text{CAP}(x, p))~~\left\{~~ \begin{align*} & \begin{aligned} & \rlap{\text{Max.}}\phantom{u. d. N.} && \alpha(a)=\prod\limits_{l=1}^q P\Big(\sum_{j=1}^n x_{jl}\cdot X_j\le a_l\Big) \end{aligned}\\ & \begin{aligned} & \text{u. d. N.} && \sum_{l=1}^q a_l=p \\ & && a_l\ge 0,~a_l\in\mathbb{Z} && (l=1, \ldots, q) \end{aligned} \end{align*}\right. \)

\(\ast\)	\(a_l\in{}\mathbb{Z}_{\ge 0}\)	Anzahl der Lagerplätze, die Zone \(l\) zugeteilt werden
	\(n\)	Anzahl der Artikel \(j\)
	\(p\)	Anzahl vorhandener Lagerplätze
	\(q\)	Anzahl der Gruppen \(l\)
	\(x_{jl}\)	\(=1\), falls Artikel \(j\) der Zone \(l\) zugewiesen ist, \(=0\), sonst

Lagerplatzzuweisung \((\text{SLAP}(a))\): Weise für gegebene Zonengrößen \(a\) die Artikel \(j\) den Zonen \(l\) zu, sodass der durchschnittliche Förderaufwand für Ein- und Auslageraufträge minimiert wird.

\(\large (\text{SLAP}(a))~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Min.} && \rlap{f(x)=\sum_{j=1}^n r_j\sum_{l=1}^q (d_{Il}+d_{lO})\cdot x_{jl}} \\ & \text{u. d. N.} && \rlap{\prod\limits_{l=1}^q P\Big(\sum_{j=1}^n x_{jl}\cdot X_j\le a_l\Big)\ge\underline{\alpha}}\\ & && \sum_{l=1}^q x_{jl} = 1 && (j=1, \ldots, n)\\ & && x_{jl} \in\{0, 1\} && (j=1, \ldots, n;~l=1, \ldots, q) \end{align*}\right. \)

	\(\smash{\underline{\alpha}}\)	Anspruchsniveau für vollständige Einlagerverfügbarkeit
	\(a_l\)	Anzahl der Lagerplätze, die Zone \(l\) zugeteilt sind
	\(d_{Il}\)	Mittlere Entfernung vom I-Punkt (Einlagerpunkt) des Lagers zu einem Lagerplatz von Zone \(l\)
	\(d_{lO}\)	Mittlere Entfernung von einem Lagerlatz von Zone \(l\) zum O-Punkt (Auslagerplatz) des Lagers
	\(n\)	Anzahl der Artikel \(j\)
	\(q\)	Anzahl der Zonen \(l\)
	\(r_j\)	Mittlere Zugriffshäufigkeit auf Artikel \(j\)
\(\ast\)	\(x_{jl}\in \{0, 1\}\)	\(=1\), falls Artikel \(j\) Zone \(l\) zugewiesen wird, \(=0\), sonst

Das integrierte Problem kann mit einer einfachen Heuristik näherungsweise gelöst werden. Betrachte dabei als zu minimierende Zielfunktion das Verhältnis

\( \begin{align*} && \varphi(x, a)=f(x)/\alpha(a) \end{align*} \)

von Förderaufwand zu vollständiger Einlagerverfügbarkeit.

Initialisierung
- Wähle erste Zuweisung der Artikel \(j\) zu Zonen \(l\)
Optimierung der Zonenkapazitäten
- Bestimme für gegebene Artikelzuweisung \(x\) optimale Lösung \(a\) des Kapazitätsallokationsproblems \((\text{CAP}(x, p))\)
- Passe Zonen entsprechend an, und bestimme zugehörige mittlere Entfernungen \(d_{Il}\) und \(d_{lO}\) für alle gebildeten Zonen \(l\)
- Berechne Förderaufwand \(f(x)\) für neues \(a\)
- Falls \(\varphi(x, a)\) kleiner als bester bisher gefundener Zielfunktionswert, gehe zu Schritt 3; ansonsten terminiere
Optimierung der Artikelzuweisung
- Setze \(\underline{\alpha}:=(1-\theta)\cdot\alpha(a)\) mit vorgegebener maximaler Verschlechterung \(\theta\) der Einlagerverfügbarkeit
- Bestimme für gegebene Zonenkapazitäten \(a\) optimale Lösung \(x\) des Lagerplatzzuweisungsproblems \((\text{SLAP}(a))\)
- Berechne Einlagerverfügbarkeit \(\alpha(a)\) für neues \(x\)
- Falls \(\varphi(x, a)\) kleiner als bester bisher gefundener Zielfunktionswert, gehe zu Schritt 2; ansonsten terminiere