Multiple-Allocation Hub-Location-Problem (multiple-allocation hub location problem)

\(\large (\text{HLPm})~~\left\{~ \begin{align*} & \begin{aligned} & \rlap{\text{Min.}}\phantom{\text{u. d. N.}} && f(x, y)=\sum_{j=1}^n\Big[\sum_{i=1}^m c_{ji}\cdot x^j_{ji}+\sum_{i=1}^m\sum_{i'=1:i'\neq i}^m c_{ii'}\cdot x_{ii'}^j + \sum_{i'=1}^m\sum_{j'=1}^n c_{i'j'}\cdot x_{i'j'}^j\Big]+\sum_{i=1}^m c_i^f\cdot y_i+\sum_{i=1}^m \sum_{i'=2: i'>i}^m c_{ii'}^f\cdot y_{ii'} \end{aligned} \\ & \begin{aligned} & \text{u. d. N.} && \sum_{i=1}^m x^j_{ji}=\sum_{j'=1}^n b_{jj'} && (j=1, \ldots, n) \\ & && x^j_{ji}+\sum_{i'=1: i'\neq i}^m x_{i'i}^j=\sum_{i'=1: i'\neq i}^m x_{ii'}^j + \sum_{j'=1}^n x_{ij'}^j && (i=1, \ldots, m;~j=1, \ldots, n) \\ & && \sum_{i'=1}^m x_{i'j'}^j = b_{jj'} && (j, j'=1, \ldots, n:~j\neq j') \\ & && \sum_{j=1}^n \Big[ x^j_{ji}+\sum_{i'=1: i'\neq i}^m x_{i'i}^j\Big] \le a_i \cdot y_i && (i=1, \ldots, m) \\ & && \sum_{j=1}^n (x_{ii'}^j+x_{i'i}^j) \le \big(\sum_{j=1}^n \sum_{j'=1}^n b_{jj'}\big) \cdot y_{ii'} && (i, i'=1, \ldots, m: i < i') \\ & && x^j_{ji},~x_{ii'}^j,~x_{i'j'}^j \ge 0 && (i, i'=1, \ldots, m:i\neq i';~j, j'=1, \ldots, n:j\neq j') \\ & && y_i, y_{ii'}\in\{0, 1\} && (i, i'=1, \ldots, m:i < i') \end{aligned} \end{align*}\right. \)
\(a_i\)Umschlagskapazität von Hub \(i\)
\(b_{jj'}\)Prognostiziertes Versandaufkommen von Depot \(j\) zu Depot \(j'\)
\(c_i^f\)Fixe Einrichtungs- und Betriebskosten von Hub \(i\)
\(c_{ii'}^f\)Fixe Einrichtungs- und Betriebskosten der Transportrelation von Hub \(i\) zu Hub \(i'\)
\(c_{ij}\)Transportstückkosten von Knoten \(i\) zu Knoten \(j\) des Hub-and-Spoke-Netzwerks
\(m\)Anzahl der potentiellen Hub-Standorte \(i\)
\(n\)Anzahl der Depots \(j\)
\(\ast\)\(x^j_{ij}\ge 0\)Transportmenge von Knoten \(i\) zu Knoten \(j\) aus Depot \(j\)
\(\ast\)\(y_i\in\{0, 1\}\)\(=1\), falls Hub \(i\) eingerichtet wird, \(=0\), sonst
\(\ast\)\(y_{ii'}\in\{0, 1\}\)\(=1\), falls Transportrelation von Hub \(i\) zu Hub \(i'\) eingerichtet wird, \(=0\), sonst