Stochastisches EOQ-Modell: Iterationsverfahren (stochastic economic order quantity model)
| \(\large (\text{SEOQ})~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Min.} && \tilde{C}(s, q)=\frac{Kd}{q} + h\Big(\frac{q}{2} + s\Big) + \frac{p_1d}{q}L_1(s) \\ & \text{u. d. N.} && q\ge 0 \end{align*}\right. \) |
| \(\tilde{C}(s, q)\) | Rate der erwarteten entscheidungsrelevanten Gesamtkosten in Abhängigkeit von Bestellpunkt \(s\) und Bestellmenge \(q\) | |
| \(d\) | Erwartete Bedarfsrate pro ZE | |
| \(h\) | Lagerungskostensatz | |
| \(K\) | Bestellfixe Kosten | |
| \(L_1(s)\) | Verlustfunktion in Abhängigkeit des Bestellpunkts \(s\) | |
| \(p_1\) | Fehlmengenkostensatz | |
| \(\ast\) | \(q\) | Bestellmenge |
| \(\ast\) | \(s\) | Bestellpunkt |
Iterative Ermittlung von Bestellpunkt \(s\) und Bestellmenge \(q\):
Die notwendigen Optimalitätsbedingungen \(\frac{\partial\tilde{C}}{\partial s}(s, q)=0\) und \(\frac{\partial\tilde{C}}{\partial q}(s, q)=0\) liefern das nichtlineare Gleichungssystem
\( \begin{align*} & q(s)=\sqrt{\frac{2d(K+p_1\,L_1(s))}{h}} && (1) \\ & s(q)=F^{-1}\Big(1-\frac{hq}{p_1d}\Big) && (2) \end{align*} \)mit \(F\) als der Verteilungsfunktion des Bedarfs \(Z\) während der Lieferzeit \(L\)
Löse Gleichungssystem iterativ mit Jacobi-Verfahren
Für den Fall eines normalverteilten Periodendedarfs \(D\) mit Erwartungswert \(d\) und Standardabweichung \(\sigma_D\) und deterministische Lieferzeit \(\lambda\) erhält man
\(\begin{align*}&& F^{-1}(\alpha)=\mu+\Phi^{-1}(\alpha)\cdot\sigma\end{align*}\)und mit der Standardverlustfunktion
\(\begin{align*}&& \Lambda(x):=\int_x^\infty(z-x)\varphi(z)\,dz=\varphi(x)-x\cdot(1-\Phi(x))\end{align*}\)die Verlustfunktion
\(\begin{align*} &&L_1(s):=\int_s^\infty (z-s)f(z)\,dz=\Lambda\Big(\frac{s-\mu}{\sigma}\Big)\cdot\sigma \end{align*}\)mit