Bestellrhythmusverfahren mit variabler Bestellmenge (reorder cycle policy with variable order quantity)

\(\large (\text{SEOQ}_{\Delta, S})~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Min.} && C(\Delta, S)=h\cdot\Big(S-\Big[\mathbb{E}(L)+\tfrac{1}{2}\Delta\Big]\cdot d\Big)+\frac{k}{\Delta}\\ & \text{u. d. N.} && V(\Delta, S) \le (1-\beta)\cdot\Delta\cdot d\\ & && \Delta \ge 0 \end{align*}\right. \)
\(\beta\)Vorgegebener Servicegrad vom Typ 2
\(\ast\)\(\Delta\ge 0\)Länge eines Bestellzyklus
\(C(\Delta, S)\)Rate der erwarteten entscheidungsrelevanten Gesamtkosten
\(d\)Erwartete Bedarfsrate (Erwartungswert der stochastischen Periodennachfrage \(D\))
\(\mathbb{E}(L)\)Erwartete Lieferzeit
\(h\)Lagerungskostensatz
\(k\)Bestellfixe Kosten
\(\ast\)\(S\)Bestellgrenze
\(V(\Delta, S)\)Verlustfunktion (erwartete Fehlmenge in Abhängigkeit von \(\Delta\) und \(S\))

Für den Fall eines normalverteilten Periodendedarfs \(D\) mit Erwartungswert \(d\) und Standardabweichung \(\sigma_D\) und deterministischer Lieferzeit \(L\) erhält man mit der Standardverlustfunktion

\(\begin{align*}&& \Lambda(x):=\int_x^\infty(z-x)\varphi(z)\,dz=\varphi(x)-x\cdot(1-\Phi(x))\end{align*}\)

die Verlustfunktion

\(\begin{align*} &&V(\Delta, S):&=\int_S^\infty (y-S)f^\Delta_Y(y)\,dy=\Lambda\Big(\frac{S-\mu_Y}{\sigma_Y}\Big)\cdot\sigma_Y\\ && &= \Lambda\Big(\frac{S-(L+\Delta)\cdot d}{\sqrt{L+\Delta}\cdot\sigma_D}\Big)\cdot\sqrt{L+\Delta}\cdot\sigma_D \end{align*}\)

mit