Bestellbestandsverfahren mit variabler Bestellmenge und periodischer Bestandsüberwachung – sequentielle Methode
(reorder cycle policy with variable order quantity and periodic review – sequential method)
\(\large (\text{SEOQ}_{\delta, s, S})~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Min.} && C_\delta(s, S)=h\cdot\Big(S-\mathbb{E}(L)\cdot d-\tfrac{1}{2}\mathbb{E}(q_\delta(s, S))\Big)+\frac{k\cdot d}{\mathbb{E}(q_\delta(s, S))}\\ & \text{u. d. N.} && V_\delta(s) \le (1-\beta)\cdot\mathbb{E}(q_\delta(s, S)) \end{align*}\right. \) |
\(\beta\) | Vorgegebener Servicegrad vom Typ 2 | |
\(\delta\) | Vorgegebene Länge des Überwachungsintervalls | |
\(C_\delta(s, S)\) | Rate der erwarteten entscheidungsrelevanten Gesamtkosten | |
\(d\) | Erwartete Bedarfsrate (Erwartungswert der stochastischen Periodennachfrage \(D\)) | |
\(\mathbb{E}(L)\) | Erwartete Lieferzeit | |
\(\mathbb{E}(q_\delta(s, S))\) | Erwartete Bestellmenge in Abhängigkeit von \(s\) und \(S\) | |
\(h\) | Lagerungskostensatz | |
\(k\) | Bestellfixe Kosten | |
\(\ast\) | \(s\) | Bestellpunkt |
\(\ast\) | \(S\) | Bestellgrenze |
\(V_\delta(s)\) | Verlustfunktion (erwartete Fehlmenge in Abhängigkeit von \(s\)) |
Für den Zusammenhang zwischen Bestellpunkt \(s\), Bestellgrenze \(S\), Bestellmenge \(q\) und dem Defizit \(U\) zwischen Erreichen des Bestellpunkts und Auslösung der Bestellung gilt die Gleichung
\(\begin{align*} && q = S-s+U \end{align*}\)Ist \(S-s\) hinreichend groß im Vergleich zum Bedarf während des Überwachungsintervalls (d. h., \(S-s\ge 1,\!5\cdot\delta\cdot d\)) und sind die Bedarfe überschneidungsfreier Intervalle stochastisch unabhängig, gilt
\(\begin{align*} && \mathbb{E}(U) \approx \frac{\delta\cdot d^2+\sigma_D^2}{2d}\end{align*}\)mit \(\sigma_D^2\) als der Varianz des Periodenbedarfs und damit mit \(q=q_\delta(s, S)\)
\(\begin{align*} && \mathbb{E}(q_\delta(s, S)) \approx S-s+\frac{\delta\cdot d^2+\sigma_D^2}{2d}\end{align*}\)Für die Verlustfunktion erhält man die Abschätzung
\(\begin{align*} && V_\delta(s)\approx\frac{1}{2\delta d}\cdot\Big(\int_s^\infty(y-s)^2 f^\delta_Y(y)\,dy-\int_s^\infty(z-s)^2 f_Z(z)\,dz\Big)\end{align*}\)mit
Sequentielle Ermittlung von Bestellpunkt \(s\) und Bestellgrenze \(S\):
Bestimme Bestellmenge ohne Defizit \(q'=q-U=S-s\) gemäß deterministischem EOQ-Modell
\( \begin{align*} && q'=\sqrt{\frac{2kd}{h}} \end{align*} \)Wähle kleinsten Bestellpunkt \(s\), sodass \(V_\delta(s)\le (1-\beta)\cdot \mathbb{E}(q)\), d. h.,
\( \begin{align*} && s^+=V_\delta^{-1}\Big((1-\beta)\cdot \Big[q'+\frac{\delta\cdot d^2+\sigma^2_D}{2d}\Big]\Big) \end{align*} \)Setze Bestellgrenze \(S^+=s^++q-U=s^++q'\)
Für den Fall eines normalverteilten Periodendedarfs \(D\) und deterministischer Lieferzeit \(L\) erhält man mit
\(\begin{align*} && \Psi(x):=\int_x^\infty (z-x)^2\varphi(z)\,dz=(1+x^2)(1-\Phi(x))-x\varphi(x) \end{align*}\)die Verlustfunktion
\(\begin{align*} &&V_\delta(s)&\approx \frac{1}{2\delta d}\cdot\Big[\Psi\Big(\frac{s-\mu_Y}{\sigma_Y}\Big)\cdot\sigma_Y^2-\Psi\Big(\frac{s-\mu_Z}{\sigma_Z}\Big)\cdot\sigma_Z^2\Big] \\ && &= \frac{1}{2\delta d}\cdot\Big[\Psi\Big(\frac{s-(L+\delta)d}{\sqrt{L+\delta}\cdot\sigma_D}\Big)\cdot(L+\delta)\cdot\sigma_D^2-\Psi\Big(\frac{s-Ld}{\sqrt{L}\cdot\sigma_D}\Big)\cdot L\cdot\sigma_D^2\Big]\\ \end{align*}\)mit