Newsvendor-Problem (newsvendor problem)
| \(\large (\text{NVP})~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Min.} && C(q)=(\pi-\pi')\int_0^q (q-z)f(z)\,dz + (p-\pi)\int_q^\infty (z-q)f(z)\,dz \\ & \text{u. d. N.} && q \ge 0 \end{align*}\right. \) |
| \(\pi\) | Einkaufspreis | |
| \(\pi'\) | Rücknahmepreis | |
| \(f(z)\) | Verteilungsdichte der Nachfrage während der Bedarfsperiode | |
| \(p\) | Absatzpreis | |
| \(\ast\) | \(q\ge 0\) | Bestellmenge |
Für den Fall eines normalverteilten Bedarfs \(Z\) während der Bestellperiode mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) erhält man die Verlustfunktion
\(\begin{align*} &&V(q):=\int_q^\infty (z-q)f(z)\,dz=\Lambda\Big(\frac{q-\mu}{\sigma}\Big)\cdot\sigma \end{align*}\)mit Standardverlustfunktion \(\Lambda(z)=\varphi(z)-z\cdot(1-\Phi(z))\)
Ferner gilt unabhängig von der Verteilung von \(Z\)
\(\begin{align*} &&\int_0^q (q-z)f(z)\,dz &= \int_0^\infty (q-z)f(z)\,dz-\int_q^\infty (q-z)f(z)\,dz\\ && &= q\int_0^\infty f(z)\,dz-\int_0^\infty z f(z)\,dz+\int_q^\infty (z-q)f(z)\,dz\\ && &= q-\mu+V(q) \end{align*}\)Hieraus folgt
\(\begin{align*} &&C(q) &= (\pi-\pi')\cdot(q-\mu)+(p-\pi')\cdot V(q)\\ && &= (\pi-\pi')\cdot(q-\mu)+(p-\pi')\cdot \Lambda\Big(\frac{q-\mu}{\sigma}\Big)\cdot\sigma\\ && &= (\pi-\pi')\cdot(q-\mu)+(p-\pi')\cdot (\varphi(\tfrac{q-\mu}{\sigma})-\tfrac{q-\mu}{\sigma}\cdot[1-\Phi(\tfrac{q-\mu}{\sigma})])\cdot\sigma\\ && &= (\pi-\pi')\cdot(q-\mu)+(p-\pi')\cdot (\varphi(\tfrac{q-\mu}{\sigma})\cdot\sigma-(q-\mu)\cdot[1-\Phi(\tfrac{q-\mu}{\sigma})]) \end{align*} \)Für \(z\ge 0\) kann \(\Phi(z)\) mit einem maximalen Fehler \(\sup_{z\ge 0}|\widetilde{\Phi}(z)-\Phi(z)|< 10^{-5}\) approximiert werden durch
\(\begin{align*} && &\rlap{\widetilde{\Phi}(z)= 1-\varphi(z)\cdot(a_1t(z)+a_2t^2(z)+a_3t^3(z))}\\[2ex] && &\text{ mit } && t(z):=\frac{1}{1+0,33267z}\\[1ex] && & && a_1:=0,4361836,~a_2:=-0,1201676,~a_3:=0,9372980 \end{align*}\)