Bestellbestandsverfahren mit fester Bestellmenge – iterative Methode
(reorder point policy with fixed order quantity – iteration method)
\(\large (\text{SEOQ}_{s, q})~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Min.} && C(s, q)=h\cdot\Big(s+\frac{q}{2}-\mathbb{E}(L)\cdot d\Big)+k\cdot\frac{d}{q}\\ & \text{u. d. N.} && V(s) \le (1-\beta)\cdot q\\ & && q \ge 0 \end{align*}\right. \) |
\(\beta\) | Vorgegebener Servicegrad vom Typ 2 | |
\(C(s, q)\) | Rate der erwarteten entscheidungsrelevanten Gesamtkosten | |
\(d\) | Erwartete Bedarfsrate (Erwartungswert der stochastischen Periodennachfrage \(D\)) | |
\(\mathbb{E}(L)\) | Erwartete Lieferzeit | |
\(h\) | Lagerungskostensatz | |
\(k\) | Bestellfixe Kosten | |
\(\ast\) | \(q\ge 0\) | Bestellmenge |
\(\ast\) | \(s\) | Bestellpunkt |
\(V(s)\) | Verlustfunktion (erwartete Fehlmenge in Abhängigkeit von \(s\)) |
Iterative Ermittlung von Bestellpunkt \(s\) und Bestellmenge \(q\):
Die notwendigen Optimalitätsbedingungen \(\frac{\partial C}{\partial s}(s, q)=0\) und \(\frac{\partial C}{\partial q}(s, q)=0\) liefern das nichtlineare Gleichungssystem
\( \begin{align*} & s(q)=V^{-1}((1-\beta)\cdot q) && (1)\\ & q(s)=\sqrt{\frac{2\cdot k\cdot d}{h}}\cdot\sqrt{\frac{1-F(s)}{2\beta-F(s)-1}} && (2) \end{align*} \)mit \(F\) als der Verteilungsfunktion des Bedarfs \(Z\) während der Lieferzeit \(L\)
Löse Gleichungssystem iterativ mit Jacobi-Verfahren
Für den Fall eines normalverteilten Periodendedarfs \(D\) mit Erwartungswert \(d\) und Standardabweichung \(\sigma_D\) und deterministischer Lieferzeit \(L\) erhält man mit der Standardverlustfunktion
\(\begin{align*}&& \Lambda(x):=\int_x^\infty(z-x)\varphi(z)\,dz=\varphi(x)-x\cdot(1-\Phi(x))\end{align*}\)die Verlustfunktion
\(\begin{align*} &&V(s):=\int_q^\infty (z-s)f(z)\,dz=\Lambda\Big(\frac{s-\mu}{\sigma}\Big)\cdot\sigma \end{align*}\)mit