Kapazitaetsplanung (capacity planning)

\(\large (\text{CPP})~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Max.} && \rlap{f(C, s)=r\cdot\lambda^{\mathit{eff}}\cdot T - c_w\cdot (C-s)+c_s\cdot s}\\ & \text{u. d. N.} && \lambda^{\mathit{eff}} = \sum_{i\in\mathcal{S}:~i<\bar{C}}z_{i(i+1)}\\ & && g_{i(i-1)} \le i\cdot\mu,~g_{i(i-1)} \le s\cdot\mu && (i\in\mathcal{S}:i>0)\\ & && g_{i(i+1)} = \lambda\cdot\varepsilon(i) && (i\in\mathcal{S}:i<\bar{C})\\ & && g_{ij}\cdot\pi_i-g_{ij}\cdot(1-y_j) \le z_{ij} \le g_{ij}\cdot\pi_i && (i, j\in\mathcal{S}:|i-j|=1)\\ & && 0 \le z_{ij} \le g_{ij}\cdot y_j && (i, j\in\mathcal{S}:|i-j|=1)\\ & && \sum_{j\in\mathcal{S}:~|i-j|=1}z_{ij}=\sum_{j\in\mathcal{S}:~|i-j|=1}z_{ji} && (i\in\mathcal{S})\\ & && \sum_{i\in\mathcal{S}}\pi_i=1\\ & && \tfrac{C+1-i}{\bar{C}+1} \le y_i \le 1-\tfrac{i-C}{\bar{C}-1} && (i\in\mathcal{S})\\ & && 0 \le \pi_i \le y_i && (i\in\mathcal{S})\\ & && b_i \ge i-s && (i\in\mathcal{S})\\ & && \frac{\lambda^{\mathit{eff}}}{\mu} \le \bar{\varrho}_s\cdot s\\ & && \sum_{i\in\mathcal{S}} \pi_i\cdot b_i \le \bar{\varrho}_w\cdot(C-s)\\ & && 1 \le s \le \bar{s},~1\le C\le \bar{C},~C, s \in{} \mathbb{Z}\\ & && b_i\ge 0,~y_i \in\{0, 1\} && (i\in\mathcal{S}) \end{align*}\right. \)
\(\varepsilon(i)\)Eintrittswahrscheinlichkeit eines ankommenden Kunden im Zustand \(i\)
\(\lambda\)Ankunftsrate von Kunden am Wartesystem
\(\lambda^{\mathit{eff}}\)Effektive Ankunftsrate von Kunden im Wartesystem
\(\mu\)Bedienungsrate von Kunden pro Bedienungsschalter
\(\ast\)\(0\le \pi_i\le 1\)Stationaere Wahrscheinlichkeit von Zustand \(i\)
\(\bar{\varrho}_s\)Maximale mittlere Auslastung der Bedienungsschalter
\(\bar{\varrho}_w\)Maximaler Belegungsgrad der Warteschlange
\(\ast\)\(b_i\ge 0\)Anzahl belegter Plaetze der Warteschlange in Zustand \(i\)
\(\bar{C}\)Maximale Kapazitaet des Warteraums
\(c_s\)Fixkosten der Einrichtung und des Betriebs eines Bedienungsschalters im Planungszeitraum
\(c_w\)Fixkosten der Einrichtung und des Betriebs eines Warteplatzes im Planungszeitraum
\(\ast\)\(g_{ij}\ge 0\)Uebergangsrate von Zustand \(i\) zu Zustand \(j\) fuer \(C=\bar{C}\)
\(r\)Stueckdeckungsbeitrag bedienter Kunden
\(\mathcal{S}\)Menge der Zustaende \(i=0, \ldots, \bar{C}\) (Zustandsraum)
\(\bar{s}\)Maximale Anzahl an Bedienungsschaltern
\(T\)Laenge des Planungszeitraums
\(\ast\)\(y_i\in \{0, 1\}\)\(=1\), falls Zustand \(i\) bei Konfiguration \((C, s)\) eintreten kann, \(=0\), sonst
\(\ast\)\(z_{ij}\ge 0\)Hilfsvariable fuer \(g_{ij}\cdot\pi_i\cdot y_j\), d. h., Wahrscheinlichkeitsrate, mit der Zustand \(i\) in Richtung Zustand \(j\) verlassen wird