Data-Envelopment-Analyse (data envelopment analysis)

• Formulierung als nichtlineares Programm für Einheit \(l\)

  \( (\text{DEA-NLP}(l))~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Max.} && \rlap{\pi_l=\frac{\sum\limits_{j=1}^nx_{jl}u_{jl}}{\sum\limits_{i=1}^mr_{il}v_{il}}} \\ & \text{u. d. N.} && \frac{\sum\limits_{j=1}^n x_{jk}u_{jl}}{\sum\limits_{i=1}^m r_{ik}v_{il}} \le 1 && (k=1,\ldots,p) \\ & && u_{jl},~v_{il} \ge 0 && (i=1,\ldots,m;~j=1,\ldots,n) \end{align*}\right. \)

  	\(m\)	Anzahl der Produktionsfaktoren \(i\)
  	\(n\)	Anzahl der Ausbringungen \(j\)
  	\(p\)	Anzahl der Einheiten \(k, l\)
  	\(r_{il}\)	Faktormenge von Faktor \(i\) bei Einheit \(l\)
  \(\ast\)	\(u_{jl}\ge 0\)	Aggregationsgewicht (Preis) von Ausbringung \(j\) bei Einheit \(l\)
  \(\ast\)	\(v_{il}\ge 0\)	Aggregationsgewicht (Preis) von Faktor \(i\) bei Einheit \(l\)
  	\(x_{jl}\)	Produktionsmenge von Ausbringung \(j\) bei Einheit \(l\)

• Formulierung als lineares Programm für Einheit \(l\)

  \( (\text{DEA-LP}(l))~~\left\{~~ \begin{align*} & \text{Max.} && \rlap{\pi_l=\sum\limits_{j=1}^nx_{jl}\mu_{jl}} \\ & \text{u. d. N.} && \sum_{j=1}^nx_{jk}\mu_{jl}\le\sum_{i=1}^mr_{ik}\nu_{il} && (k=1,\ldots,p) \\ & && \sum_{i=1}^mr_{il}\nu_{il}=1 \\ & && \mu_{jl},~\nu_{il} \ge 0 && (i=1,\ldots,m;~j=1,\ldots,n) \end{align*}\right. \)

  	\(m\)	Anzahl der Produktionsfaktoren \(i\)
  	\(n\)	Anzahl der Ausbringungen \(j\)
  	\(p\)	Anzahl der Einheiten \(k, l\)
  	\(r_{il}\)	Faktormenge von Faktor \(i\) bei Einheit \(l\)
  \(\ast\)	\(\mu_{jl}\ge 0\)	Transformiertes Aggregationsgewicht (Preis) von Ausbringung \(j\) bei Einheit \(l\), es gilt \(\mu_{jl}=u_{jl}/(\sum_{i'=1, \ldots, m} r_{i'l}v_{i'l})\)
  \(\ast\)	\(\nu_{il}\ge 0\)	Transformiertes Aggregationsgewicht (Preis) von Faktor \(i\) bei Einheit \(l\), es gilt \(\nu_{il}=v_{il}/(\sum_{i'=1, \ldots, m} r_{i'l}v_{i'l})\)
  	\(x_{jl}\)	Produktionsmenge von Ausbringung \(j\) bei Einheit \(l\)

• Für gegebene Lösung von \((\mu, \nu)\) kann Lösung zu \((u, v)\) durch Auflösen des homogenen linearen Gleichungssystems

  \( \begin{align*} && v_{il}=\nu_{il}\cdot\sum_{i'=1}^m r_{i'l}v_{i'l} \quad (i=1, \ldots, m) \end{align*} \)

  nach \(v^l\neq 0\) und Einsetzen in

  \( \begin{align*} && u_{jl}=\mu_{jl}\sum\limits_{i=1}^mr_{il}v_{il} \quad (j=1, \ldots, n) \end{align*} \)

  bestimmt werden.
• Da mit \(v\) auch stets \(\alpha\,v\) eine Lösung des Gleichungssystems ist, kann o.B.d.A. \(\sum_{i=1, \ldots, m}r_{il}\,v_{il}=1\) angenommen werden, woraus sich

  \( \begin{align*} && v_{il}=\nu_{il} \quad (i=1, \ldots, m), && u_{jl}=\mu_{jl} \quad (j=1, \ldots, n) \end{align*} \)

  ergibt.